被人调侃的全体自然数之和等于-1/12，便是这样计算出来的错误之一。

那么，全体自然数之和等于-1/12，又是怎么被人证明出来的呢？

这就要说到黎曼了。

黎曼是德国著名的数学家，数学王子高斯的弟子。

黎曼在二十八岁时发表了题为《论作为几何学基础的假设》的演说，就此创立了黎曼几何学。他将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体，后来，爱因斯坦也是运用黎曼几何和张量分析工具，才创立了新的引力理论广义相对论。

全体自然数之和等于-1/12，就是黎曼在运用欧拉乘积公式中偶然得到的副产品。

正是在这个错误的结果的启迪之下，黎曼对欧拉乘积公式的运用提出了四条脉络。

一，应该把ζ中的自变量s理解为复数，而不只是实数。

二，可以通过解析延拓，让ζ在s小于1的地方也获得定义。

三，通过对ζ的研究，可以对小于等于某个数的质数的个数，给出一个明确的表达式，在这个表达式中唯一未知的就是ζ的零点的位置。

四，黎曼猜测ζ的零点都位于某些地方。

由此可见，黎曼在欧拉ζ函数上的研究上，显然是比欧拉更进一步的。

他在加入解析延拓之后，使得ζ在s小于1的地方获得定义。

由此，欧拉ζ函数也就升级成了黎曼ζ函数。

解析延拓又是什么呢？

解析延拓就是扩大一个函数的定义域，使得该函数在一些原本没有定义的地方也有了定义，而在原本有定义的地方还跟原来一样。

例如，在-1，1的区间里定义了一个函数y=x，它的函数图像是一条线段，从连到。将这条线段向两边延伸，而且可以延伸得任意远，这么一来，这个函数的定义域就从区间扩展到了整个数轴。